## 回答:
这个题目可以理解为一个“循环兑换”问题：每喝掉一瓶汽水，就会得到1个空瓶和1个瓶盖，而这两个“资源”又能继续用来兑换更多的汽水。具体兑换规则是：
- 3 个瓶盖可以换 1 瓶新汽水
- 2 个空瓶可以换 1 瓶新汽水
题目给出：一开始有 5 瓶汽水，不考虑其它获得汽水的方法(只能靠换盖子或换空瓶)。问最终能喝到多少瓶？
---
## 思路与关键点
1. **初始状态**
- 已经有 5 瓶汽水可直接喝掉。
- 于是「已喝瓶数」(T)先加 5，得到 5 个空瓶(E=5)和 5 个瓶盖(C=5)。
2. **兑换的“净消耗”**
- 用 2 个空瓶换 1 瓶汽水时：
- 消耗 2 个空瓶，但又会得到 1 瓶新汽水的空瓶，所以**空瓶净消耗**=2−1=1；
- 同时获得 1 个新瓶盖。
- 因此这一步的效果可以写作：
\[
T \rightarrow T+1,\quad E \rightarrow E-1,\quad C \rightarrow C+1
\]
- 用 3 个瓶盖换 1 瓶汽水时：
- 消耗 3 个瓶盖，但会得到 1 个新瓶盖，故**瓶盖净消耗**=3−1=2；
- 同时获得 1 个新空瓶。
- 因此这一步的效果可以写作：
\[
T \rightarrow T+1,\quad E \rightarrow E+1,\quad C \rightarrow C-2
\]
3. **循环兑换的过程**
只要还满足任意一种兑换条件(空瓶数≥2 或 瓶盖数≥3)，就可以继续换，换到无法再换为止。每换一次，喝到的汽水总数 T 就多 1。
---
## 逐步演算示例
下面是一种“先换空瓶、空瓶不够再换瓶盖”的循环过程(实际只要能换，就不停地交替/循环下去，也能达到相同结果)。记号含义：
- \(T\)：已经喝掉的总数
- \(E\)：当前手里剩余的空瓶数
- \(C\)：当前手里剩余的瓶盖数
**初始：**
\[
T = 5, \quad E = 5, \quad C = 5.
\]
下面演示每一步(为了看清净变化，采用“一次只换一瓶”的做法；当然实际可合并多次兑换，一样的效果)。
1. **能用空瓶换，就先换空瓶**(2换1)：
- 第一次：
\[
T = 6,\; E = 4,\; C = 6
\]
- 第二次：
\[
T = 7,\; E = 3,\; C = 7
\]
- 第三次：
\[
T = 8,\; E = 2,\; C = 8
\]
- 第四次：
\[
T = 9,\; E = 1,\; C = 9
\]
此时空瓶只剩 1 个，不能再做 2 换 1。
2. **改用瓶盖换**(3换1)：
- 第一次：
\[
T = 10,\; E = 2,\; C = 7
\]
- 现在空瓶又变成 2 个，可以再用空瓶换…然后继续瓶盖换……
如果把过程完整展开(一直交替直到无法再换)，最终你会得到：
\[
\boxed{T = 23}
\]
并且此时会出现 \(E=1,\,C=2\)，既不够 2 个空瓶去换，也不够 3 个瓶盖去换，循环结束。
---
## 结论
从上面的演算可知，**一开始 5 瓶汽水，且“2空瓶换1瓶”与“3瓶盖换1瓶”可以无限次循环使用时，最终能喝到的汽水总数是 23 瓶**。
一开始 5 瓶汽水，且“2空瓶换1瓶”与“3瓶盖换1瓶”可以无限次循环使用时，最终能喝到的汽水总数是 23 瓶。 |
发表于 
楼主